La rápida: Comprar es kaufen y vender es verkaufen.

La complicada: Alquilar -en el sentido de utilizar algo pagando pero sin comprarlo- es mieten, y alquilar -en el sentido de prestar algo por dinero- es vermieten.

Y la que no tiene nada que ver: Contratar en el sentido de solicitar una tarea a otra persona es beauftragen.

Recuerda, que en el caso de vender, coincide que la palabra en alemán comienza por la misma letra, osea que tiene el prefijo ver-, y que en ambos pares de palabras coincide que quien cobra o paga tiene o no tiene el prefijo, con lo cual solo hay una posibilidad de emparejarlos: Si vender es verkaufen (para que coincida la primera letra), alquilar -en el sentido de utilizar algo pagando pero sin comprarlo- debe ser vermieten.